Formulaire de mathématiques

Vous trouverez sur cette page un ensemble de fiches pratiques vous permettant de réviser facilement les domaines de mathématiques vus au lycée en première et terminale. Chaque paragraphe de cette page contient l'essentiel des connaissances à retenir ainsi que toutes les formules à connaître.

IMPORTANT : il va de soit que dans toutes les expressions algébriques exposées sur cette page les fractions n'ont de sens et ne sont valables que dans le cas où leur dénominateur est non nul, même si cette condition n'est pas systématiquement rappelée.

Sommaire :

Les identités remarquables

Les puissances

L'équation du second degré ax²+bx+c = 0

Relations trigonométriques

Technique de linéarisation

Technique de décomposition

Calcul de la valeur exacte de COS (pi / 5)

Calcul des racines d'un polynôme

Calcul de COS (pi/n) avec le triangle de Pascal

Toutes les astuces pour calculer une primitive

L'intégration par parties

Calcul d'une intégrale par changement de variable

Calcul d'une primitive par décomposition en éléments simples

Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques

Nouveau ! Le calculateur en ligne de primitives


 

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Les identités remarquables

Le carré d'une somme :

 

Le cube d'une somme :

 

Une somme à la puissance 4 :

 

Une somme à la puissance 5 :

 

La différence de deux carrés :

 

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Les puissances

Dans toutes les expressions ci-dessous, les nombres x, a, b, n et m peuvent ête n'importe quels nombres réels.
Les exposants ne sont donc pas forcément des nombres entiers.

Voici les 3 propriétés de base des puissances :

L'exposant est une somme :

 

L'exposant est une différence (avec x non nul) :

 

L'exposant est un produit :

 

Cas des puissances négatives ou inverses :

L'exposant est l'opposé d'un nombre (avec x non nul) :

 

L'exposant est l'inverse d'un nombre (racine nième, avec n non nul) :

 

L'exposant est une fraction :

 

Et voici 3 cas particuliers à connaître :

Cas où l'exposant vaut 0 :

Tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1

 

Cas où l'exposant vaut 0,5 :

Calculer la racine carrée d'un nombre revient à élever ce nombre à la puissance 0,5

 

Cas où l'exposant vaut 1 :

Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal au nombre lui-même

 

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L'équation du second degré ax²+bx+c = 0

Dans l'équation algébrique du second degrés suivante, a, b et c sont 3 nombres réels :

Résoudre cette équation revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles l'équation est vraie.

Méthode de résolution de l'équation du second degrés :

1) On calcule le discriminant Delta :

2) Si Delta est positif, il existe 2 racines réelles, x1 et x 2 :

Il existe 2 relations entre les racines x1 et x 2 :

Si on appelle P(x) le polynome du second degrés, il existe 2 manière de factoriser P(x) lorsque Delta est positif :

Première factorisation : la factorisation par a :

 

Deuxième factorisation : la factorisation par c :

 

3) Si Delta est égal à zéro, il existe une seule racine x0, appelée 'racine double' :

Dans le cas où Delta est nul, la factorisation du polynome P(x) est la suivante :

4) Si Delta est négatif, il n'existe aucune racine réelle pour l'équation, et le polynome n'est pas factorisable.

 

Incroyable mais vrai !

Pour enfin tout comprendre sur l'intégration par changement de variable !

Retrouver toutes les techniques de recherche rapide des racines d'un polynome de degré quelconque

Comment calculer cos(pi/n) en utilisant le triangle de Pascal ?

 

 

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Relations trigonotmétriques

La formule d'Euler :

Un nombre complexe de module 1 et d'argument x peut s'écrire de la manière suivante

 

Conséquence de la formule d'Euler :

 

La formule de Moivre :

Un nombre complexe de module 1 et d'argument x, élevé à la puisssance n, peut s'écrire de la manière suivante

 

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Technique de linéarisation

Une expression est dite linéarisée si elle ne comporte aucun produit de fonctions circulaires.

La linéarisation consiste à exprimer
en fonction de
ou de

 

Voyons un exemple concret en linéarisant

 

Nous allons ainsi démontrer la relation suivante :

 

On commence en utilisant la formule d'Euler :

 
     
   
     
   
     
   

 

On en déduit l'expression linéarisée de suivante :

 

 

Rappel complémentaire, utile pour la linéarisation :

 

 

avec

 

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Technique de décomposition

La décomposition consiste à exprimer
en fonction de
ou de

 

Voyons un exemple concret en décomposant

 

Nous allons ainsi démontrer la relation suivante :

 

On commence en utilisant la formule d'Euler :

 
     
   
     
   
     
   

Avec :

 

On remarque que les nombres Alpha 1 et Alpha 2 sont des complexes conjugués :

 

Calcul de Alpha 1 et de Alpha 2 :

 

La somme Alpha 1 + Alpha 2 est un nombre réel :

 

Il faut maintenant supprimer le sinus carré. Pour cela on utilise la relation :

 

Et on obtient :

 

Comme on a :

 

On en déduit la forme décomposée de cos (3x) :

 

Formules générales de la décomposition :

 

avec p la partie entière de n / 2

 

avec q la partie entière de (n - 1) / 2

 

Rappel :

 

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Calcul de la valeur exacte de COS (pi / 5)

Nous allons, dans ce paragraphe, démontrer la relation suivante :

 

Commençons par décomposer
en utilisant la technique de décomposition

 

. On obtient :

Posons
et

 

On obtient :

 

Appelons P(x) le polynôme suivant :

 

est une racine de P(x) :

 

 

Comme la somme des coefficients de P(x) est nulle (16-20+5-1=0), 1 est une racine évidente de P(x) :

 

On peut donc factoriser P(x) par x - 1 :

 

Identification des coefficients du polynôme du 4ème degré :

On en déduit les valeus suivantes pour les 5 coefficients :

 

Et le polynôme P(x) s'écrit alors :

 

Or, le polynôme
est le carré d'un polynôme de degré 2 :

 

 

Ce qui nous donne pour P(x) :

 

est donc une racine de

 

Résolvons l'équation algébrique du second degré suivante, en appelant x1 et x2 les deux racines:

 

Calcul du discriminent Delta :

 

Les racines x1 et x2 sont :

Comme
est positif, on a

 

Soit :

Il faut maintenant retrouver
alors qu'on connaît

 

Grâce à la technique de décomposition, on peut démontrer que

 

On peut en déduire la relation suivante :

Appliquons cette relation pour trouver
à partir de

 

   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 

 

Et Voilà, c'est fini ! Voici le résultat final, que nous venons de démontrer :

 

Remarque :

 

Il existe donc une relation directe entre le nombre

 

 

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