Le nombre Pi

Introduction

Voici quelques relations, séries, intégrales définies, et fractions continues qui convergent vers Pi, ou qui font intervenir Pi dans leur résultat. Vous trouverez en bas de cette page les 10 000 premières décimales de Pi.

Sommaire de cette page


Les produits infinis donnant Pi

Les sommes infinies donnant Pi

Les fractions continues donnant Pi

Les intégrales définies

Calcul de Pi en utilisant le développement limité d'ArcTangente

Les valeurs approchées

Pi défini dans la base d'Euler

Propriétés de certaines fonctions mathématiques

Pi défini en fonction de tous les nombres premiers

Pi défini avec les nombres de Fibonacci

Pi défini en fonction du nombre d'or

Pi défini avec les nombres complexes

Quelques coïncidences : doit-on s'en étonner ?

Les 10 000 premières décimales de Pi

 

 

Nouveau ! Retrouvez les 100 000 premières décimales du nombre Pi

 

Les produits infinis :

 

 

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Les sommes infinies :

Cette première expression est la série d'Euler :

 

 

 

L'expression suivante traduit la relation ArcTan(1) = Pi/4, en utilisant le développement limité de la fonction ArcTangente :

 

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Les fractions continues :

La fraction continue 1²/(6+3²/(6+5²/(6+7²/(6+9²/(6+11²/(6+13²/(6+15²/(6+17²/(etc...))))))))) est exactement égale à la partie décimale de Pi, soit 0,14159265358979... Il suffit donc de lui ajouter 3 pour obtenir la valeur exacte de Pi :

Autre fraction continue faisant intervenir Pi :

 

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Les intégrales définies :

 

 

 

Remarque : est la dérivée de ArcSin(x)

 

 

 

 

 

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Calcul de Pi en utilisant le développement limité d'ArcTangente :

Voici 10 expressions donnant Pi en utilisant la fonction ArcTan(x). Chaque formule peut devenir une nouvelle somme infinie convergeant vers Pi, en remplaçant ArcTan(x) par son développement limité.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Et le développement limité d'ArcTan(x) est :

 

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Les valeurs approchées :

Voici une liste de nombres réels, dont la valeur est "relativement proche" de celle de Pi :

 

 

 

 

 

 

 

 

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Pi défini dans la base d'Euler :

En base 10, c'est à dire dans la base à pas constant (1/10,1/10,1/10,1/10,1/10,1/10,etc.), Pi s'écrit avec la liste de chiffres suivante : (3;1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,etc.). On peut donc écrire :

Dans cette expression, les nombres en gras représentent les décimales de Pi en base 10 (système décimal).

Or, il existe un système de numération dans lequel le nombre Pi s'exprime uniquement avec des 2. Ce système est la base d'Euler à pas variable (1/3,2/5,3/7,4/9,5/11,6/13,etc.). Dans la base d'Euler, Pi s'écrit (2;2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,etc.), c'est à dire avec une suite infinie de chiffre 2. On peut donc écrire :

Cette expression est en fait la série d'Euler (donnée plus haut dans les Sommes infinies), qui a été factorisée.

Une des méthodes pour écrire le nombre Pi en décimal consiste à convertir en base 10 le nombre 2,222222222222... exprimé au départ dans la base d'Euler à pas variable. L'avantage de cette technique pour calculer Pi est que le temps de calcul sera constant pour sortir toutes les décimales, de la première à la dernière, ce qui n'est pas le cas si on utilise une série qui converge vers Pi. En effet, la plupart des séries données plus haut on une convergence très lente : la conséquence pratique est que plus on voudra de décimales, plus les calcul seront lents. Par exemple, si on utilise le développement limité d'ArcTangente, on aura au début 4 décimales d'un coup, puis 1 décimales par seconde jusqu'à la 20 ème décimale, puis 1 décimale toutes les 5 secondes, puis on aura l'impression que le calcul s'arrête ...

Mais en mettant en oeuvre un algorithme de conversion pour passer de la base d'Euler à la base 10, toutes les décimales seront calculées avec le même temps. Si par exemple votre ordinateur vous sort 1 décimales par seconde, il gardera cette cadence de la première décimale jusqu'à la 20 000 ème décimales par exemple.

C'est grâce à cette technique que j'ai calculé les 10 000 premières décimales, exposées en bas de cette page.

 

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Propriétés de certaines fonctions mathématiques, faisant intervenir Pi :

La fonction Gamma :

 

La fonction Zêta de Rieman :

 

La fonction factorielle :

Au voisinage de l'infinie :

 

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Pi défini en fonction de tous les nombres premiers :

Il existe un produit infini donnant la valeur exacte de (Pi)² en utilisant la suite infinie des nombres premiers. Un nombre entier naturel est premier, si l'ensemble de ses diviseurs ne contient que deux éléments : 1 et le nombre lui-même. 

Le début de la suite des nombres premiers est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, etc.

Rappel : le nombre 1 n'est pas premier (car il ne contient qu'un seul diviseur), et 2 est le seul nombre premier pair.

Et voici maintenant le lien entre Pi et tous les nombres premiers :

Dans cette expression, les nombres en gras représentent la suite les nombres premiers.

Ce produit infini est en fait l'expression développée de la fonction Zêta de Rieman, en utilisant la propriété suivante de la fonction Zêta :

 

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Pi défini avec les nombres de Fibonacci :

Appelons Fn les termes de la suite de Fibonacci, c'est-à-dire les "nombres de Fibonacci". Dans la suite de Fibonacci, chaque terme est égal à la somme des 2 termes qui le précèdent, les deux premiers termes étant égaux à 1 :

Si on prend 4 termes consécutifs quelconques dans cette suite de Fibonacci (Fn, Fn+1, Fn+2 et Fn+3, quelque soit n), on peut alors exprimer /4 de la manière suivante :

Exemples :

etc ...

La suite de Fibonacci nous donne donc une infinité d'expressions de /4, de la forme ArcTan A - ArcTan B où A et B sont des nombres rationnels. Chacune de ces nouvelles expressions peut se transformer en une somme infinie, en utilisant le développement limité de la fonction ArcTangente.

 

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Pi défini en fonction du nombre d'or :

Voici une relation entre Pi et le nombre d'or Phi :

 

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Pi défini dans les nombres complexes :

Il est plus simple de donner une valeur exacte de Pi en utilisant les complexes que les réels. En effet, si i est le nombre complexe de module 1 et d'argument Pi/2, et que ln représente la fonction logarithme népérien d'un nombre complexe, alors Pi est tout simplement :

 

Rappel au sujet de la fonction logarithme népérien d'un nombre complexe :

Si Z est un complexe de module M et d'argument A, alors le logarithme népérien de Z est le complexe ayant comme partie réelle ln(M) et comme partie imaginaire A :

Si Z = [ M , A ]  alors  ln(Z) = ln(M) + i.A

 

Remarquez au passage que l'expression ci-dessus donnant Pi en fonction du logarithme népérien d'un nombre complexe n'est autre que la formule d'Euler, connue généralement sous la forme suivante :

Cette expression traduit simplement le fait que le nombre de module 1 et d'argument Pi est le réel -1.

 

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Quelques coïncidences : doit-on s'en étonner ?

Voici quelques étrangetés trouvées dans les décimales de Pi ; on se gardera bien de les prendre au sérieux.

1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6 = 100

Somme ligne : Carré magique original
65 17 24 1 8 15
65 23 5 7 14 16
65 4 6 13 20 22
65 10 12 19 21 3
65 11 18 25 2 9
Somme colonne : 65 65 65 65 65

 

Somme ligne : Chaque nombre a été remplacé par la décimale de même rang que le nombre
24 2 4 3 6 9
23 6 5 2 7 3
25 1 9 9 4 2
29 3 8 8 6 4
17 5 3 3 1 5
Somme colonne : 17 29 25 24 23

Étrange, non ??

 

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Et voici, après calcul, les 10 000 premières décimales de Pi :

Chaque paragraphe contient 10 lignes, et chaque ligne est composée de 100 décimales.
Chaque paragraphe contient donc 1000 décimales, et il y a 10 paragraphe en tout.

Vous cherchez la 2637 ème décimale ? C'est facile : il s'agit du 37 ème chiffre de la 6 ème ligne du 2 ème paragraphe.

Autre exemple : où se trouve la 7518 ème décimale ?

Aucune régularité ou périodicité n'a jamais été constatée dans les décimales de Pi. Cela signifie qu'une suite quelconque de chiffres a de grande chance de se trouver dans la suite des décimales de Pi. Par exemple, votre date de naissance, exprimée sous la forme d'une suite de 6 chiffres JJMMAA se trouve-t-elle dans ces 10 000 premières decimales de Pi ? Vous pouvez aussi y rechercher toute autre suite de chiffres vous caractérisant, comme par exemple votre numéro de sécurité sociale ou votre numéro de téléphone. Bonne recherche !!

= 3,
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151 
5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012 
8583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912 
9331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279 
6782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955 
3211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000 
8164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333 
4547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383 
8279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863 
0674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009

9465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203 
4962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382 
6868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388 
4390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506 
0168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125 
1507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858 
9009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364 
5428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344 
0374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927 
8191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961

5679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215 
0306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856 
1005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007 
2305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116 
7229109816909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412 
6711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535 
8932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923 
2332609729971208443357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656 
1809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658 
2131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396

6655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045 
3348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800 
7002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830 
6343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923 
0990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901 
9389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571 
8530614228813758504306332175182979866223717215916077166925474873898665494945011465406284336639379003 
9769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296 
6171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513 
6222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998886874132604721

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