Les nombres premiers

Introduction

Je ne sais pas pour vous, mais en observant les nombres premiers, j'éprouve le sentiment d'être en présence d'un des plus inexplicables secrets de la création.

Les nombres premiers, ces nombres sans autres facteurs qu'un et eux-mêmes, fascinent : 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Alors que leur définition semble ne receler aucun mystère, on échoue à trouver une régularité quelconque dans leur succession. Connus dès les débuts de l'arithmétique, les nombres premiers ont excité la curiosité de milliers de mathématiciens. Ils sont au cœur de la science des nombres, car tout entier se décompose de façon unique en un produit de facteurs premiers. Ils sont aussi à l'origine de certains des problèmes les plus difficiles des mathématiques et ont acquis, avec les progrès de la cryptographie, une importance économique considérable.

Sommaire de cette page


Il existe une infinité de nombres premiers, démonstration

Test élémentaire de primalité

Les 999 premiers nombres premiers

Applet Java pour la recherche des nombres premiers

Les fonctions utilisées en arithmétique pour l'études des nombres premiers

Conjectures, théorèmes, et propriétés des nombres premiers

Ecart entre les nombres premiers

Les nombres premiers jumeaux

Les nombres premiers triplets et quadruplets

 

 

Convention utilisée sur cette page pour l'écriture des exposants dans les nombres :

Afin que le texte de cette page soit compatible avec le plus grand nombre de navigateurs possible, je n'est pas utilisé le style "exposant" pour l'écriture des nombres, mais j'ai utilisé l'opérateur ^ pour symboliser la fonction puissance. Exemples :

10^2 signifie 10 puissance 2, soit 100

10^6 représente un million (et non 10 millions !)

2^87 654 signifie "2 élevé à la puissance 87 654" (et non 2 fois 10 puissance 87 654 !!!)

Un dernier exemple :

7^2 = 7 puissance 2 = 7 exposant 2 = 7 au carré = 7 fois 7 = 49

Donc rappelez vous : le ^ représente l'opérateur puissance, et non "10 exposant" comme c'est le cas sur certaines calculatrices. Le symbole ^ remplace simplement l'écriture en exposant.

Rappel au sujet de la priorité des opérateurs mathématiques, afin de chasser toute ambiguïté à la lecture des expressions complexes formulées sur cette page : l'opérateur puissance est prioritaire devant la multiplication, ce qui signifie que A^BC = A^B.C = (A^B).C et que A^BC est différent de A^(BC), avec A^(BC) = (A^B)^C = (A^C)^B

 

 

Il existe une infinité de nombres premiers, démonstration :

Démonstration claire et détaillée :

Supposons que p est un nombre premier, avec p>5, et formons le produit 2x3x5x......xp de TOUS les nombres premiers compris entre 2 et p, puis posons n=(2x3x5x......xp)+1

n étant supérieur à 2, n admet un diviseur premier. Notons-le q. Or, aucun des nombres de la liste 2, 3, 5, ...... p, n'est un diviseur de n car le reste de la division de n par l'un quelconque des nombres premiers de cette liste est toujours 1. Donc q est strictement supérieur à p.

On en déduit que quelque soit le nombre premier p, il existera toujours un autre nombre premier q supérieur à p, ce qui prouve que la liste des nombres premiers est infinie.

Remarque : le produit 2x3x5x......xp de tous les nombres premiers inférieur ou égaux au nombre premier p est appelé la primorielle de P, et est noté P#.

 

Et voici maintenant la même démonstration, mais que j'ai condensée au maximum, et tournée en une démonstation par l'absurde en une seule phrase :

S'il y avait un nombre fini de nombres premiers, alors le plus grand d'entre eux, p, serait tel que p# + 1 serait divisible par un nombre premier qui, divisant p#, devrait aussi diviser 1, ce qui est absurde.

On en déduit que l'ensemble des nombres premiers ne peut pas être fini, c'est à dire qu'il existe obligatoirement une infinité de nombre premiers.

 

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Test élémentaire de primalité :

Un test de primalité permet de savoir si un nombre entier est un nombre premier ou pas. Il existe différentes méthodes pour tester la primalité d'un entier naturel. Un des algorithmes possibles est le suivant. Il permet de savoir rapidement si un nombre entier p, impair et supérieur à 2, est un nombre premier ou pas :

A=3

Début

si A>=sqrt(p)+1 alors p est premier

si p est un multiple de A alors p n'est pas premier

A=A+2

Retourner au début

 

Explications et mise en pratique de cet algorithme :

La variable A est initialisée à 3, puis elle est incrémentée de 2 à chaque passage dans la boucle. Cette variable A va donc "balayer" tous les nombres impairs en partant de 3. Si le nombre p que l'on teste est à un moment multiple de A, alors p n'est pas premier et on sort du programme. Si en revanche, la variable A atteind une valeur supérieure à la racine carrée de p, plus 1, alors p est un nombre premier et on sort du programme.

Programmation de ce test de primalité :

Dans les lignes ci-dessus, la fonction sqrt représente la fonction racine carrée, et peut être calculée de différentes manières selon les fonctions mathématiques dont on dispose :

racine carrée de p = sqrt(p) = p puissance 0,5 = exponentielle(ln(p)/2) = etc ...

Le second test, "p est un multiple de A", peut être traduit de différentes manières, toutes équivalentes :

p est un multiple de A <=> A est un diviseur de p <=> p modulo A = 0 <=> la partie décimal du nombre p/A est nulle <=> p/A est égal à sa partie entière <=> etc ...

Ces multiples possibilités permettent de programmer facilement ce test élémentaire de primalité dans tous les langages de programmation existants, aussi bien sur un ordinateur (en C, en Java, en Pascal, en Perl, etc.) que sur une calculatrice (Casio, TI, HP, etc.). Si vous réalisez vous-même votre programme de test de primalité en utilisant l'algorithme ci-dessus, n'oubliez pas que p doit être un nombre impair supérieur à 2 : il faut donc traiter à part les cas particuliers des nombres pairs, du nombre 1, et du nombre 2, avant de lancer la boucle de test :

si p est pair alors p n'est pas premier

si p=1 alors p n'est pas premier

si p=2 alors p est premier

Rappel : 1 n'est pas premier, et 2 est le seul nombre premier pair

Remarquez que le test "p est pair" peut se traduire "p est un multiple de 2", qui, comme on l'a vu, peut se programmer de différentes manières en fonction des différentes fonctions mathématiques disponibles dans le langage utilisé.

Programmation du test de primalité en Java :

Voici par exemple une applet Java que j'ai réalisée en utilisant l'algorithme de primalité décrit ci-dessus. Pour savoir si un nombre entier (à 7 chiffres maximum) est premier, entrez le nombre sur la ligne de saisie puis appuyez sur le bouton "Tester le nombre" :



Pour télécharcher le code source en Java de cette applet, cliquez ici.

 

Programmation du test de primalité en JavaScript :

Et voici par exemple un programme en JavaSript permettant de tester la primalité d'un nombre entier naturel p :

<SCRIPT LANGUAGE="JavaScript">
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Script réalisé par Jean-Christophe MICHEL
// Juillet 2012
// www.gecif.net
///////////////////////////////////////////////////////////////////////

function VerifForm()
{
formulaire = document.forms[0];
p = formulaire.nombre.value;
a = 3;
sortir=0;
var exp=new RegExp("^[0-9]*$","g"); // teste si p ne contient que des chiffres (élimine les lettres, la virgule, le signe -, etc.)
if ( !exp.test(p) )
{
document.getElementById('targetDiv').innerHTML ="Entrez un nombre entier strictement positif";
sortir=1;
}
else
if (p<1)
{ // cas où p=0
document.getElementById('targetDiv').innerHTML ="Entrez un nombre entier strictement positif";
sortir=1;
}
else
if (p==2) { // cas où p=2
document.getElementById('targetDiv').innerHTML =p + " est un nombre premier"; sortir=1;
}
else
if (p==1)
{ // cas où p=1
document.getElementById('targetDiv').innerHTML =p + " n'est pas un nombre premier";
sortir=1;
}
else
if (p % 2==0)
{ // cas où p est pair
document.getElementById('targetDiv').innerHTML =p + " n'est pas un nombre premier";
sortir=1;
}
while (sortir==0)
{
if (a>=(Math.sqrt(p)+1))
{
document.getElementById('targetDiv').innerHTML =p + " est un nombre premier";
sortir=1;
}
else
if (p % a==0)
{
document.getElementById('targetDiv').innerHTML =p + " n'est pas un nombre premier";
sortir=1;
}
a=a+2;
}
}
</SCRIPT>

Cliquez ici pour tester ce programme dans une nouvelle page.

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Les 999 premiers nombres premiers :

Ce tableau, de 10 colonnes et 100 lignes, contient les 999 premiers nombres premiers. A titre d'information, la somme de ces 999 nombres est 3 678 910 (remarquez la suite de nombres 6 7 8 9 10 dans cette somme) :

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

 

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

 

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

 

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

 

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

 

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

 

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

 

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

 

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

 

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

 

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

 

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

 

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

 

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

 

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

 

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

 

947

953

967

971

977

983

991

997

1009

1013

 

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1069

 

1087

1091

1093

1097

1103

1109

1117

1123

1129

1151

 

1153

1163

1171

1181

1187

1193

1201

1213

1217

1223

 

1229

1231

1237

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1321

1327

1361

1367

1373

1381

 

1399

1409

1423

1427

1429

1433

1439

1447

1451

1453

 

1459

1471

1481

1483

1487

1489

1493

1499

1511

1523

 

1531

1543

1549

1553

1559

1567

1571

1579

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1601

1607

1609

1613

1619

1621

1627

1637

1657

1663

 

1667

1669

1693

1697

1699

1709

1721

1723

1733

1741

 

1747

1753

1759

1777

1783

1787

1789

1801

1811

1823

 

1831

1847

1861

1867

1871

1873

1877

1879

1889

1901

 

1907

1913

1931

1933

1949

1951

1973

1979

1987

1993

 

1997

1999

2003

2011

2017

2027

2029

2039

2053

2063

 

2069

2081

2083

2087

2089

2099

2111

2113

2129

2131

 

2137

2141

2143

2153

2161

2179

2203

2207

2213

2221

 

2237

2239

2243

2251

2267

2269

2273

2281

2287

2293

 

2297

2309

2311

2333

2339

2341

2347

2351

2357

2371

 

2377

2381

2383

2389

2393

2399

2411

2417

2423

2437

 

2441

2447

2459

2467

2473

2477

2503

2521

2531

2539

 

2543

2549

2551

2557

2579

2591

2593

2609

2617

2621

 

2633

2647

2657

2659

2663

2671

2677

2683

2687

2689

 

2693

2699

2707

2711

2713

2719

2729

2731

2741

2749

 

2753

2767

2777

2789

2791

2797

2801

2803

2819

2833

 

2837

2843

2851

2857

2861

2879

2887

2897

2903

2909

 

2917

2927

2939

2953

2957

2963

2969

2971

2999

3001

 

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3187

 

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3251

3253

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3301

3307

3313

3319

3323

3329

3331

3343

 

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3571

3581

 

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3613

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3637

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3697

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3719

3727

3733

 

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3761

3767

3769

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3793

3797

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3823

 

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6763

 

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7523

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7573

 

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7673

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7699

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7723

7727

 

7741

7753

7757

7759

7789

7793

7817

7823

7829

7841

 

7853

7867

7873

7877

7879

7883

7901

7907

7919

  etc.

 

 

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Applet Java pour la recherche des nombres premiers

L'applet Java suivante vous permet de rechercher des nombres premiers. Il vous suffit d'entrer un nombre entier à 7 chiffres maximum, et en appuyant sur le bouton "Rechercher suivant", le premier nombre premier trouvé après le nombre que vous avez entré sera affiché :



 

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Les fonctions utilisées en arithmétique pour l'études des nombres premiers :

La fonction  d(n) :

Définition d'un diviseur :

Pour qu'un entier k soit un diviseur de n, il faut et il suffit que le reste de la division de n par k soit nul. Comme un nombre n sera toujours divisible par 1 et par n lui-même, 1 et n sont toujours des diviseurs de n. On peut donc déjà remarquer que tout entier n>1 possède au moins deux diviseurs : 1 et n lui-même.

La fonction d(n) est égale au nombre de diviseurs de n (y compris 1 et n lui-même d'après la définition d'un diviseur).

Exemples : 

d(18) = 6 car 18 a 6 diviseurs, qui sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18

d(32) = 6 car 32 a 6 diviseurs, qui sont 1, 2, 4, 8, 16 et 32

d(25) = 3  car 25 a 3 diviseurs, qui sont 1, 5 et 25

d(17) = 2  car 17 a seulement 2 diviseurs, qui sont 1+17 = 18

 

Un nombre n est premier s'il ne possède comme diviseurs que 1 et n lui-même, donc n est un nombre premier si et seulement si d(n)=2.

Remarque  : le seul diviseur de 1 est 1 lui-même. Donc le nombre 1 ne possède qu'un seul diviseur, ce qui s'écrit d(1)=1. Comme d(1) est différent de 2, on en déduit que 1 n'est pas un nombre premier.

 

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La fonction indicatrice d'Euler (Phi de n) :

La fonction indicatrice d'Euler, notée, est égale au nombre d'entiers inférieurs à n et n'ayant aucun diviseur commun avec n.

Exemple : (6) = 2 car les seuls nombres inférieurs à 6 et premiers avec lui sont 1 et 5.

Remarque : n - (n) ne pourra jamais être égal à 10.

 

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La fonction  Sigma de n :

est la somme de tous les diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même.

Exemples : 

*(18) = 1+2+3+6+9+18 = 39

*(32) = 1+2+4+8+16+32 = 63

*(25) = 1+5+25 = 36

*(17) = 1+17 = 18

Si *(n) = 1+n, cela signifie que n n'a que 2 diviseurs : 1 et n. Dans ce cas, n est un nombre premier.

Exemple : *(13) = 1+13 = 14 donc 13 est un nombre premier.

 

On appelle "nombre parfait" un entier dont la somme de ses diviseurs est égale au double du nombre, ce qui s'écrit :

Si *(n) = 2.n alors n est un nombre parfait.

Exemple : *(6) = 1+2+3+6 = 12 = 2x6, donc 6 est un nombre parfait.

Les six premiers nombres parfaits sont :

Jusqu'à présent, aucun nombre parfait impair n'a été découvert. Mais cela ne veut pas dire qu'un nombre parfait est forcément pair. Alors cherchez bien, et si vous trouvez un nombre parfait impair, faites-moi signe :-))

 

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La fonction  Pi de x :

La fonction , définie pour tout nombre réel x > 0, correspond au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

Exemples :

(6) = 3 car il existe 3 nombres premiers inférieurs ou égaux à 6 : 2, 3, et 5

(11) = 5 car il existe 5 nombres premiers inférieurs ou égaux à 11 : 2, 3, 5, 7, et 11

(21.13) = 8 car il existe 8 nombres premiers inférieurs ou égaux à 21.13 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19

(1) = 0 car il n'existe aucun nombre premier inférieur ou égal à 1 (1 n'étant pas un nombre premier)

(2) = 1 car il n'existe qu'un seul nombre premier inférieur ou égal à 2 : c'est 2 lui-même

 

Le tableau ci-dessus donnant les 999 premiers nombres premiers permet d'obtenir facilement la valeur de la fonction (x). Par exemple, combien vaut (100) ? Grâce au tableau, on s'aperçoit qu'il existe 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 (il y a 10 nombres par ligne dans le tableau). On en déduit donc que (100) = 25

 

Remarque : bien que cette fonction Pi de x soit représentée par la même lettre grecque que le nombre Pi de valeur 3.141592..., la fonction (x) n'a aucun rapport avec le nombre réel de valeur 3.141592... Ce n'est qu'un hasard dans l'attribution des noms, qui fait que ces deux éléments mathématiques sont représentés par la même lettre. Cette remarque est d'autant plus importante lorsqu'on utilise des formules (et il y en a) qui font intervenir à la fois la fonction (x) et le nombre réel .

 

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La fonction  Primorielle :

La fonction primorielle de p, notée p#, n'est définie que si p est un nombre premier.

p# désigne alors le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à p.

Exemple :

5# = 2x3x5 = 30

11# = 2x3x5x7x11 = 2 310

23# = 2x3x5x7x11x13x17x19x23 = 17 160 990

2# = 2

6# n'existe pas car 6 n'est pas un nombre premier.

Le premier nombre premier étant 2, le produit p# commencera toujours par 2. On en déduit que p# sera toujours pair, quelque soit le nombre premier p.

 

Utilisation de la fonction primorielle : 

Quelle est le plus petit entier ayant 3 diviseurs premiers distincts ? La réponse est primorielle de 5 (notée 5#) :

5#=2x3x5=30 donc 30 est le plus petit entier ayant trois diviseurs premiers distincts : 2,  3 et 5.

Le plus petit entier à 4 diviseurs premiers distincts est 7#=2x3x5x7=210

2310 = 11# = 2x3x5x7x11, donc 2310 est le plus petit entier à 5 diviseurs premiers distincts, etc..

La plupart des entiers ont très peu de diviseurs premiers distincts. Les primorielles sont donc des nombres exceptionnels.

 

Fonction primorielle et nombres premiers :

n# + 1 est premier pour n=2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, et pour aucune autre valeur inférieure à 35000.

 

Propriétés de la fonction primorielle :

Les seules primorielles qui peuvent s'écrire comme étant le produit de deux nombres consécutifs sont les primorielles de 2, 3, 7, et 17 :

2# = 2 = 1x2

3# = 6 = 2x3

7# = 2x3x5x7 = 210 = 14x15

17# = 2x3x5x7x11x13x17 = 510 510 = 714x715

Il n'existe aucune autre primorielle possédant ces propriétés jusqu'à 3049#.

 

17# est donc égal à un produit de deux nombres consécutifs faisant intervenir 714. J'en profite pour signaler une particularité de ce nombre 714 : Avez-vous remarqué que *(714) est un cube parfait, et que le rapport *(714) /(714)  est un carré parfait ? Connaissez-vous d'autres nombres possédant cette particularité ?

De plus, 17# est égal au produit de 4 nombres de Fibonacci consécutifs : 17# = 13x21x34x55

Décidément, quel nombre extraordinaire ce primorielle de 17 !! :-))

 

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La fonction sous-factorielle :

La fonction sous-factorielle de n, notée !n, est définie de la manière suivant (où n! représente la fonction factorielle de n) :

Rappel : 0! = 1

 

Exemple : 

!0 = 0! = 1

!1 = 1! (1 - 1) = 0

!2 = 2! (1 - 1 + 1/2) = 1

!3 = 3! (1 - 1 + 1/2 - 1/6) = 2

!4 = 4! (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24) = 9

!5 = 5! (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120) = 44

!6 = 6! (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720) = 265

etc.

On remarque que la fonction sous-factorielle est un entier positif, pour des nombres supérieur à 1 (ce que ne laissait pas forcément présager la définition de la sous-factorielle).

Exemple de problème utilisant la fonction sous-factorielle :

N lettres ont été écrites à différentes adresses et N enveloppes affranchies ont été préparées. De combien de manières les lettres peuvent-elles être placées dans les enveloppes de sorte que chaque lettre se trouve dans la mauvaise enveloppe ?

La réponse est : sous-factorielle de N

Complément d'information sur ce problème des lettres mal adressées : lorsque le nombre de lettres et d'enveloppes N augmente, la probabilité que chaque lettre soit placée dans une mauvaise enveloppe tend rapidement vers la valeur exponentielle de -1, soit :

Le même problème peut être simulé en battant bien 2 jeux de 52 cartes et en retournant les cartes par paires, une sur chaque paquet. La probabilité qu'il y ait aucune correspondance parmi les 52 paires est d'environ e-1.

 

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Quelques propriétés arithmétiques de ces fonctions :


Les valeurs de n, pour lesquelles (n) est un diviseur de *(n), et d(n) est à la fois un diviseur de (n) et de *(n) forment la suite : 1 3 15 30 35 52 70 78 105 140 168 190 210 etc... On peut remarquer dans cette liste la présence de 30 = 5# et de 210 = 7#.


Le premier nombre composé de la forme p# + 1 est obtenu pour p=13. Ce nombre est 2x3x5x7x11x13 + 1 = 30 031


Le seul nombre égal à la somme des sous-factorielles de ses chiffres est 148 349. En effet :

148 349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9 

 

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Conjectures, théorèmes, et propriétés des nombres premiers :

 

Tout nombre entier pair, supérieur à 2, est la somme de 2 nombres premiers.

Rappel : 1 n'est pas premier et 2 est le seul nombre premier pair.


Il y a exactement autant de nombres premiers de la forme 4n+1 inférieurs à 26 861 qu'il y en a de la forme 4n+3. Comme 26 861 est premier et de le forme 4n+1, il rend cette forme majoritaire, pour la première fois.


Les nombres de la forme n! - 1 sont premiers pour n=3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, et il n'en existe pas d'autre jusqu'à 4580 compris.


Si 2n - 1 est premier, alors n est premier.


Pour tout nombre premier p, (p-1)! + 1 est un multiple de p.


Si p est un nombre premier, et k un entier quelconque, alors kp - k est un multiple de p.

 

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Ecart entre les nombres premiers :

Il n'existe aucun nombre premier entre n! + 2 et n! + n

En effet :

n! + 2 est multiple de 2 (il n'est donc pas premier)
n! + 3 est multiple de 3
n! + 4 est multiple de 4
n! + 5 est multiple de 5

etc ...

n! + n est multiple de n

Cela signifie qu'en prenant n suffisamment grand, on pourra toujours trouver dans l'ensemble des entier naturel, une suite de nombres consécutifs d'une longueur quelconque ne contenant aucun nombre premier.

Cette remarque suffit à elle seule pour se rendre compte de la raréfaction des nombres premiers : plus on avance dans les entiers naturels en allant vers les "grands nombres", moins il y a de nombres premiers (la densité des nombres premiers diminue). Exemple : entre 0 et 100 il existe 25 nombres premiers, ce qui signifie qu'entre 0 et 100 un nombre entier sur quatre est un nombre premier. Mais ce rapport de 1 nombre premier pour 4 nombre entier diminue rapidement pour les entiers supérieurs à 100 :

Entre 0 et 100 il existe 25 nombres premiers : 25 % des entiers < 100 sont premiers

Entre 0 et 1 000 il existe 168 nombres premiers : 16,8 % des entiers < 1 000 sont premiers

Entre 0 et 1 000 000 il existe 78 498 nombres premiers : 7,84 % des entiers < 1 000 000 sont premiers

Entre 0 et 1 000 000 000 il existe 50 847 534 nombres premiers : 5,08 % des entiers < 1 000 000 000 sont premiers

Faut-il en conclure qu'à partir d'une certaine limite il n'existe plus de nombres premiers ? Non justement, car comme je l'ai déjà démontré en haut de cette page, il existe une infinité de nombres premiers : quelque soit le nombre entier n, il existera toujours un nombre premier supérieur à n.

 

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Les nombres premiers jumeaux :

Comme nous venons de le voir, entre les nombres n! + 2 et n! + n, aucun nombre n'est premier. En allant assez loin, l'écart entre deux nombres premiers consécutifs est donc aussi grand que l'on veut. Toutefois, cet écart semble aussi égal à 2 une infinité de fois : c'est la conjecture des nombres premiers jumeaux. Par conséquent, l'écart entre nombres premiers consécutifs oscille largement. Sur ces questions, on dispose de nombreuses conjectures vérifiées numériquement, mais de très peu de résultats démontrés. Les mathématiques ressemblent ici à une science expérimentale comme je l'aime : on explore le monde des nombres en tentant d'y repérer des lois, on réussit parfois à lier ces lois entre elles et à les déduire les unes des autres, mais la démonstration des lois elles-mêmes semble impossible avec les moyens actuels.

Parfois, l'écart entre deux nombres premiers consécutifs est égal à 2. C'est le cas pour les couples 3-5, 5-7, 11-13, 17-19 et 29-31 par exemple. De tels nombres premiers sont qualifiés de nombres premiers jumeaux. La date de la première mention des nombres premiers jumeaux est incertaine, mais, depuis un siècle, ils suscitent une grande attention. Leur étude a donné lieu à de nombreuses spéculations mathématiques et à de non moins nombreux calculs informatiques. L'un d'eux, dont les conclusions viennent d'être communiquées, a fait trembler sur sa base la puissante industrie des microprocesseurs. C'est en effet lors du calcul de nombres premiers jumeaux que les bugs sur les premiers microprocesseurs Pentium d'Intel ont été découverts.

D'autres calculs ont révélé de nouvelles propriétés des nombres premiers ; ils prouvent que l'arithmétique ressemble parfois davantage à une discipline expérimentale, telle la physique, qu'à une branche des mathématiques.

Applet Java permettant de trouver une paire de jumeaux

L'applet Java suivante vous permet de connaître la prochaine paire de nombres premiers jumeaux, présentes après un nombre entier donné. Pour l'utiliser, saisissez un nombre entier à 7 chiffres maximum, et appuyez sur le bouton "Rechercher jumeaux". La première paire de jumeaux existante après votre nombre sera alors affichée :



 

Trouve-t-on toujours des jumeaux ?

Quand on s'intéresse aux nombres premiers jumeaux, la première question qui vient à l'esprit est celle de leur quantité : y en a-t-il une infinité ? Les mathématiciens pensent que oui. Cette affirmation est aujourd'hui l'une des plus célèbres conjectures mathématiques, car tous les efforts pour la démontrer ont été vains : on ne sait ni prouver qu'il existe un nombre infini de nombres premiers jumeaux, ni prouver le contraire. La situation est choquante, car une phrase suffit pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. Les deux problèmes sont très proches, mais l'un est facile, et l'autre bloqué.


Bien sûr, on a effectué des calculs pour s'assurer qu'on trouve toujours des nombres premiers jumeaux, aussi loin qu'on est capable d'aller aujourd'hui. On a tout d'abord compté le nombre précis de premiers jumeaux inférieurs à une borne n. Cette recherche exhaustive a été menée jusqu'à n = 10^15 (un million de milliards) : parmi les 29 844 570 422 669 nombres premiers inférieurs à 10^15, on a compté 1177 209 242 304 paires de nombres premiers jumeaux, soit 3,94 pour cent, et l'on n'a pas constaté que leur suite s'interrompait à une borne quelconque. On a également effectué des sondages bien au-delà de 10^15, sans jamais trouver pour l'instant de zone sans nombres premiers jumeaux.
La plus grande paire de nombres premiers jumeaux connue aujourd'hui est la suivante :


361 700 055 x 2^39 020 - 1 et 361 700 055 x 2^39 020 +1

Chacun de ces nombres s'écrit avec 11 755 chiffres. Cette paire a été "capturée" en 1999 par Henri Lifchitz, un ingénieur électronicien français (c'est important de le signaler), passionné de nombres premiers. Le record immédiatement inférieur, qui date de l'année précédente, est une paire de nombres ayant chacun 11 751 chiffres :


835 335 x 2^39 014 - 1
et 835 335 x 2^39 014 + 1


Ses découvreurs sont Ray Ballinger (chef du service de radiologie du Centre médical de Gainesville, en Floride) et Yves Gallot (ingénieur à Toulouse dans une société spécialisée dans les simulateurs).

Raréfaction chez les raréfiés

On sait que les nombres premiers se raréfient (voir le paragraphe précédent, Ecart entre les nombres premiers) et l'on constate que les nombres premiers jumeaux, considérés dans la suite des nombres premiers, se raréfient également. Un raisonnement heuristique (c'est-à-dire qui suggère sans prouver rigoureusement) conduit à penser que les nombres premiers jumeaux ont une densité de 1/ln(n) parmi les nombres premiers (ou, ce qui revient au même, une densité de 1/ln^2(n) parmi les nombres entiers).

Le raisonnement est simple :
"La probabilité que p et p + 2 soient simultanément premiers est le produit de la probabilité que p soit premier par celle que p + 2 le soit également, car on considère que ces deux événements sont indépendants. Comme le théorème des nombres premiers indique que la probabilité d'être premier tend vers 1/ln(p), la probabilité recherchée tend vers 1/ln(p) x 1/ln(p + 2), soit environ 1/ln^2(p)."

Cet argument est en fait trop peu rigoureux pour constituer une preuve : comme les nombres premiers sont parfaitement déterminés dans la suite des entiers, il est abusif de leur attribuer une probabilité d'occurrence, et plus encore d'en faire des événements indépendants. En outre, le raisonnement est extrêmement dangereux : si on l'applique à p et p + 1, on trouve que la densité des paires de nombres consécutifs qui sont premiers vaut également 1/ln^2(n), alors qu'en réalité, elle est nulle, puisque, quel que soit p, l'un des deux nombres p ou p + 1 est pair ! !

Les nombres premiers jumeaux jusqu'à 2000

Les nombres premiers consécutifs séparés de deux unités (indiqués en rouge dans le tableaux ci-dessous) sont qualifiés de jumeaux. La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il y en a une infinité. Bien qu'on ne sache pas la démontrer, on a formulé la conjecture plus précise (et plus difficile) que leur nombre tend environ vers 1,32 n/ln^2(n) parmi les nombres inférieurs à n.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1069

1087

1091

1093

1097

1103

1109

1117

1123

1129

1151

1153

1163

1171

1181

1187

1193

1201

1213

1217

1223

1229

1231

1237

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1301

1303

1307

1319

1321

1327

1361

1367

1373

1381

1399

1409

1423

1427

1429

1433

1439

1447

1451

1453

1459

1471

1481

1483

1487

1489

1493

1499

1511

1523

1531

1543

1549

1553

1559

1567

1571

1579

1583

1597

1601

1607

1609

1613

1619

1621

1627

1637

1657

1663

1667

1669

1693

1697

1699

1709

1721

1723

1733

1741

1747

1753

1759

1777

1783

1787

1789

1801

1811

1823

1831

1847

1861

1867

1871

1873

1877

1879

1889

1901

1907

1913

1931

1933

1949

1951

1973

1979

1987

1993

1997

1999

2003

2011

2017

2027

2029

2039

2053

etc.

On constate dans ce tableau qu'il existe exactement 60 paires
de nombres premiers jumeaux entre 0 et 2000

Remarque : le seul entier appartenant à 2 paires de jumeaux est le 5. En effet, 5 appartient à la fois la paire de jumeaux (3;5) et à la paire (5;7). Aucun autre entier peut appartenir à 2 paires de nombres premiers jumeaux, puisque si on considère les 3 entiers impairs consécutifs p, p+2, et p+4 (avec p>3 et p impair), il y en aura forcément un des 3 qui est multiple de 3. Les 3 nombres entiers impairs consécutifs étant tous les 3 premiers sont donc seulement 3, 5, et 7.

La fonction 2 (m)

Nous avons vu que la fonction (m) représentait le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à m. De la même manière, on définie la fonction 2 (m) qui est égale, quelque soit le réel m, au nombre de nombres premiers jumeaux inférieurs ou égaux à m. Par exemple, nous venons de voir qu'il existe exactement 60 paires de nombres premiers jumeaux entre 0 et 2000, on peut donc écrire 2 (2000)=119 (et pas 120, car le nombre 5, compté une seule fois, est présent dans 2 paires de jumeaux).

 

Raréfaction des nombres premiers jumeaux

 

n
nombre de nombres premiers < n
nombre de paires de nombres premiers jumeaux < n
pourcentage parmi les premiers
10^3
168
35
20,83
10^4
1 229
205
16,68
10^5
9 592
1 224
12,76
10^6
78 498
8 169
10,41
10^7
664 579
58 980
8,87
10^8
5 761 455
440 312
7,65
10^9
50 847 534
3 424 506
6,73
10^10
455 052 511
27 412 679
6,02
10^11
4 118 054 813
224 376 048
5,45
10^12
37 607 912 018
1 870 585 220
4,97
10^13
346 065 536 839
15 834 664 872
4,56
10^14
3 204 941750 802
135 780 321665
4,22
10^15
29 844 570 422 669
1 177 209 242 304
3,94

 

Les plus grandes paires de nombres premiers jumeaux connues

Premiers jumeaux
Nombre de chiffres
Découvreur
Année
361 700 055 x 2 ^ 39 020 ± 1
11 755
Lifchitz
1999
835 335 x 2 ^ 39 014 ± 1
11 751
Ballinger et Gallot
1998
242 206 083 x 2 ^ 38 880 ± 1
11 713
Jarai et Indlekofer
1995
40 883 037 x 2 ^ 23 456 ± 1
7 069
Lifchitz et Gallot
1998


Des débuts de preuves ?

Voici une façon indirecte de formuler la conjecture des nombres premiers jumeaux, en mettant leur écart en avant :

Le nombre 2 peut s'écrire d'une infinité de façons différentes sous la forme p1 -p2, où p1 et p2 sont des nombres premiers.
En utilisant la technique des cribles (généralisation de l'idée du crible d'Ératosthène), on a démontré des résultats qui approchent cet énoncé et qui sont loin d'être anecdotiques. En 1920, le mathématicien norvégien Viggo Brun a ainsi prouvé que :

Le nombre 2 peut s'écrire d'une infinité de façons différentes sous la forme p1 -p2, où p1 et p2 sont des nombres "9-presque-premiers".

Un nombre "k-presque-premier" est un nombre dont la décomposition en facteurs premiers possède k facteurs au plus. Le nombre 12 = 2 x 2 x 3 est 3-presque-premier ; le nombre 169 = 13 x 13 est 2-presque-premier.


Le résultat de Brun sur l'infinité des nombres 9-presque-premiers jumeaux, s'il tend une passerelle vers la conjecture des nombres premiers jumeaux, est encore très loin du but : celui-ci sera atteint quand on aura remplacé "9-presque-premiers" par "1-presque-premiers", puisque "être 1-presque-premier" équivaut bien sûr à "être premier".

Toutefois, les progrès ont été continus. En 1924, H. Rademacher a remplacé le "9" par "7", et, à la suite de travaux de A. Rényi en 1947 et de J. Chen en 1966, on sait aujourd'hui que :


Le nombre 2 peut s'écrire d'une infinité de façons différentes sous la forme p1-p2, avec p1 premier et p2 un nombre 2-presque-premier.

Un dernier effort : il n'y a plus qu'à remplacer 2-presque-premier par 1-presque-premier !

 

La constante de Brun

On observe que les nombres premiers jumeaux se raréfient parmi les nombres premiers. Peut-on le prouver ? Il existe un moyen d'évaluer la taille d'un ensemble infini : la série des inverses de ses éléments. On ignore bien sûr si les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini, mais on peut savoir, au moyen de cette série des inverses, s'ils sont infiniment moins nombreux que les nombres premiers.


En 1919, Brun prouva que la série des inverses des nombres premiers jumeaux était convergente. Autrement dit, la série

possède une valeur finie, contrairement à la série des inverses des nombres premiers, dont on a prouvé qu'elle est infinie :

Remarquez que, dans la série des inverses des nombres premiers jumeaux, on fait apparaître deux fois 1/5, car c'est le second élément de la paire (3;5), en même temps que le premier élément de la paire (5;7).


La valeur finie de cette série indique qu'il y a infiniment moins de nombres premiers jumeaux que de nombres premiers. Le raisonnement suivant le fera mieux comprendre : si, en moyenne, un nombre premier sur 100 était un nombre premier jumeau, alors la série des inverses des nombres premiers jumeaux se comporterait comme celle des inverses des nombres premiers et serait infinie (car l'infini divisé par 100 est encore l'infini). Il en résulte que moins d'un nombre premier sur 100 est un nombre premier jumeau. Ce qui vient d'être dit pour 100 peut être répété avec 1000, 10 000, etc. Il y a bien raréfaction : en allant assez loin, la proportion des nombres premiers jumeaux tend vers 0.
Le même Brun a d'ailleurs démontré un résultat précis de majoration : le nombre 2 (m) de nombres premiers jumeaux inférieurs ou égaux à m est inférieur à 100m/ln^2(m), quantité qui devient négligeable par rapport à (m), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à m, quand m tend vers l'infini.

D'après tout ce qui précède, on conclut qu'il existe des séquences de plus en plus longues de nombres premiers consécutifs qui ne comportent aucun couple de nombres premiers jumeaux : plus on va loin, moins l'écart de 2 est fréquent. Ce résultat complète ce que l'on savait déjà de l'écart entre les nombres premiers : il existe des séquences de nombres composés successifs aussi longues que l'on veut, car tous les nombres entre n! + 2 et n! + n sont composés (n! + 2 est un multiple de 2 ; n! + 3 est un multiple de 3 ; ... ; n! + n est un multiple de n).

Revenons à la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux. On doit souligner que ce résultat, s'il prouve que les jumeaux se raréfient parmi les premiers, ne résout pas la question de savoir s'il existe ou non une infinité de nombres premiers jumeaux : la série peut avoir une valeur finie parce que ses termes sont en nombre fini, ou parce qu'ils sont de plus en plus rares, bien qu'en nombre infini.

Cette valeur finie de la série, nommée constante de Brun et notée B en l'honneur de celui qui a prouvé la convergence, est estimée à :

On ne sait presque rien de cette constante, pas même si c'est un nombre rationnel (pouvant être écrit sous la forme d'une fraction) ou irrationnel (comme racine carrée de 2), algébrique (solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers, comme racine cubique de 2 solution de x^3 = 2) ou transcendant (non algébrique, comme Pi). Elle est particulièrement difficile à évaluer, et l'on ne sait pas la calculer autrement qu'en utilisant directement sa définition (à l'exception toutefois d'une petite astuce d'extrapolation sur le résultat brut). Pour connaître B, il faut donc aller très loin dans la série des nombres premiers.

Valeur de la constante de Brun constatée expérimentalement avec Mathematica :

En utilisant tous les jumeaux compris entre le 1 er le 1 000 000 ème nombre premier : B = 1,74268

 

Quelques propriétés des nombres premiers jumeaux

n est le premier élément d'une paire de nombres premiers jumeaux si, et seulement si 4((n -1)! + 1) + n est un multiple de n(n + 2)

(ou (n -1)!-( 3n + 2) + 2n + 2 est un multiple de n(n + 2) )
(ou (n -1)! (n - 2) - 2 est un multiple de n(n + 2) )

De la première condition, on déduit la formule suivante, qui engendre tous les premiers éléments des paires de nombres premiers jumeaux quand n décrit l'ensemble des entiers naturels :


j(n) = 3+n [(4(n+2)!+n+7)/(n+3)(n+5) - [(4(n + 2)! + n + 6)/(n + 3)(n + 5)]]

La formule fonctionne de la façon suivante : à n, on fait correspondre n + 3 ; pour n = 0, on obtient ainsi 3, le premier nombre premier jumeau. La première des trois conditions de gémellité énoncées plus haut devient alors : n + 3 est le premier élément d'une paire de jumeaux si, et seulement si, 4(n + 2)! + n + 7 est un multiple de (n + 3)(n + 5). Dans ce cas, le rapport de ces deux expressions est un entier, et la partie entière (symbolisée par les crochets dans l'expression ci-dessus) de (4(n + 2)! + n + 6) / (n + 3)(n + 5) est l'entier immédiatement inférieur. La partie entière de leur différence vaut alors 1, et 0 sinon. Par conséquent, j(n) = 3 + n si 3 + n est le premier élément d'une paire de jumeaux, et j(n) = 3 dans les autres cas.

 

Un polynôme qui donne tous les nombres premiers jumeaux

Le polynôme ci-dessous est dû à Christoph Baxa, du département de mathématiques de l'Université de Vienne, qui l'a tiré de la théorie des équations diophantiennes. Quand les variables a, b,..., z décrivent l'ensemble des entiers naturels, les valeurs positives du polynôme décrivent l'ensemble des nombres p tels que (p, p + 2) est une paire de nombres premiers jumeaux. L'avantage de cette formule sur celle du paragraphe précédent est qu'elle ne fait pas appel à la fonction partie entière :


(k+2) [1-(wz+h+j-q)^2-((g+1)(h+j)+h-z)^2
- (p + q + z + 2n - e)^2 - (e^3 (e + 2)(a + 1)^2 + 1- o^2)^2
- ((a^2 -1)(n + l + v)^2 + 1-x^2)^2 - (16(a^2 -1)(n + l + v)^2 + 1-x^2)^2
- (((a + u^2(u^2 - a)^2 -1)(n + 4d(n + l + v))^2 + 1- (x + cu)^2)^2
-((a^2-1)l^2 + 1-m^2)^2 -(p + l(a -n -1) + b(2a(n + 1)-(n + 1)^2-1) -m)^2
-(q+(n+l+v)(a-p-1)+s(2a(p+1)-(p+1)^2-1)-x)^2
- (z + pl(a -p) + t(2ap -p^2 -1) -pm)^2
- (16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1- f^2)^2
- (k + 1 + ia - i - l)^2 - (4g + k + 10 -y(k + 2)(k + 4))^2]

Rappel : l'opérateur ^ symbolise ici la fonction puissance, prioritaire sur la multiplication.

 

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Les nombres premiers triplets et quadruplets :

Après nous être intéressé à l'écart entre deux nombres premiers consécutifs, élargissons la question à la suite des écarts de trois, puis quatre nombres premiers consécutifs.

Les nombres premiers triplets

Commençons par les suites de trois nombres premiers consécutifs. A l'exception de 3, 5, 7, trois nombres premiers consécutifs ne peuvent pas être de la forme p, p+2, p+4. En effet, dans toute série de cette forme, l'un au moins des trois nombres est multiple de 3.

On trouve en revanche que p, p+2, p+6 et p, p+4, p+6 sont des formes possibles pour trois nombres premiers consécutifs. On appelle nombres premiers triplets, l'ensemble de trois nombres premiers consécutifs, de la forme p, p+2, p+6 ou de la forme p, p+4, p+6. Il existe donc 2 formes de nombres premiers triplets.

Remarque : pour les nombres premiers jumeaux, il n'existait qu'une seule forme, qui est p, p+2.

Applet Java permettant de trouver des nombres premiers triplets

L'applet Java suivante permet de rechercher des nombres premiers triplets. Vous devez préciser la forme de triplets à rechercher, ainsi que le nombre à partir duquel débutera la recherche :



 

Les nombres premiers quadruplets

Quand on considère des suites de quatre nombres premiers consécutifs, on s'aperçoit que la seule forme possible ayant pour extrémités p et p+8 (cet écart de 8 entre les deux extrémités étant le plus petit possible) est p, p+2, p+6, p+8. On appelle nombres premiers quadruplets, l'ensemble de quatre nombres premiers consécutifs de la forme p, p+2, p+6, p+8.

Applet Java permettant de trouver des nombres premiers quadruplets

L'applet Java suivante permet de rechercher des nombres premiers quadruplets. Vous devez simplement préciser le nombre à partir duquel débutera la recherche :



 

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