Les intégrales particulières de
Wallis, Gauss et Dirichlet
Cet article a pour but de démontrer la valeur de certaines intégrales particulières, là même où le calcul d'une primitive est impossible ou ne permet pas de calculer l'intégrale. Comme tous les articles mathématiques du site Gecif.net, la vulgarisation mathématique permet ici d'expliquer avec des mots et des notions simples (de niveau BAC+1) un résultat qui en principe demande un niveau bien supérieur.
Les techniques d'intégration classiques (primitive de fonctions usuelles, intégration par parties, changement de variables, etc.) ainsi que certaines techniques mathématiques (calculs de limites, décomposition en éléments simples, utilisation et manipulation des nombres complexes, emploi des 24 fonctions trigonométriques et de leur dérivée, linéarisation de sinn(x) et de cosn(x), développements limités, utilisation des suites et des séries, etc.) sont considérées parfaitement connues.
En revanche, nous n'utiliserons ici ni les transformées de Laplace, ni le théorème des résidus, ni d'intégrales doubles, ni des notions mathématiques "compliquées".
Sommaire de cette page
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Les intégrales de Wallis |
On appelle intégrales de Wallis les intégrales de la forme :
ou de la forme :
Remarque : on passe de la première à la seconde forme par un changement de variable.
Calcul de W0 et W1 :
A partir de W2 il faut trouver une primitive de sinn(x). Pour cela :
- si n est pair on linéarise en partant des formules d'Euler
- si n est impair on remplace sinn(x) par sin(x).(1-cos2(x))(n-1)/2 ce qui donne des termes de la forme u'.u que l'on sait intégrer
Dans les deux cas on trouve sans problème une primitive de sinn(x), ce qui permet de calculer la valeur de Wn.
Cliquer ici pour voir des exemples concrets et détaillés des primitives de sinn(x) et de cosn(x)
L'intégrale de Gauss |
On appelle intégrales de Gauss les intégrales de la forme :
où a est un nombre réel strictement positif.
La valeur de l'intégrale de Gauss est lié au nombre Pi par la relation :
Cas particulier lorsque a=1 :
La particularité de l'intégrale de Gauss c'est que la fonction à intégrer n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles.
A défaut de calculer la valeur de l'intégrale de Gauss nous allons ici constater son résultat par une série d'affirmations. Certaines affirmations données ci-dessous demanderaient une démonstration non détaillée ici.
Commençons par remarquer que :
Nous allons rechercher une valeur pour l'intégrale suivante :
Nous partons de trois fonctions f(x), g(x) et h(x) définies par une intégrale et liées entre elles par les relations suivantes :
Les dérivées de ces fonctions sont (non démontré ici bien que démontrable) :
Remarque : la dérivée de h(x) étant nulle h(x) est une fonction constante.
Calculons f(0) :
On en déduit que :
Et comme h(x) est une fonction constante on a :
On en déduit que :
Les limites en plus l'infini sont (non démontré ici bien que démontrable) :
En faisant tendre x vers l'infini on a donc g(x)=0 et on en déduit que :
Il vient alors :
Soit au final pour l'intégrale de Gauss :
C.Q.F.D.
L'intégrale de Dirichlet |
On appelle intégrale de Dirichlet l'intégrale du sinus cardinal entre 0 et plus l'infini :
La valeur de l'intégrale de Dirichlet est pi/2 :
Là encore il est impossible d'exprimer une primitive de la fonction sinus cardinal à l'aide des fonctions usuelles.
Plusieurs solutions existent pour calculer l'intégrale de Dirichlet, dont l'utilisation des transformées de Laplace, du théorème des résidus ou l'emploi des séries par exemple.
A défaut de calculer la valeur de l'intégrale de Dirichlet nous allons ici démontrer son résultat par une série d'affirmations et de constatations n'employant que des notions simples de l'analyse (dérivée, intégrale, suite, série, limites, etc.). Certaines affirmations données ci-dessous demanderaient une démonstration non détaillée ici.
Notons f(x) la fonction sinus cardinal avec f(0)=1 et F(x) sa primitive nulle en 0 : F(0)=0. Comme F(x) ne peut pas s'écrire en utilisant les fonctions usuelles nous la définition ici par une intégrale :
Sachant que F(0)=0 on a bien :
On définit deux autres fonctions g(x) et h(x) :
Pour n entier naturel on définit 4 suites :
Voici quelques remarques et résultats concernant ces différentes suites et fonctions. Bien que non démontrées ces affirmations sont vérifiables et permettront de constater la valeur de l'intégrale de Dirichlet :
Remarque : si vous démontrez une à une les affirmations ci-dessus vous avez alors la démonstration de l'intégrale de Dirichlet.
Et en utilisant les affirmations ci-dessus nous pouvons constater que :
Comme :
Et que :
La relation suivante :
Nous donne :
Soit au final pour l'intégrale de Dirichlet :
C.Q.F.D.