Les filtres du premier et du second ordre

Ce document vous donne un grand nombre de structures électroniques de filtres avec leur fonction de transfert.

Sommaire de cette page

Animation interactive pour tester les filtres

Calcul de la transmittance de la cellule RC

Calcul de la transmittance de la cellule CR

Les filtres actifs du premier ordre

Les transmittances des filtres du second ordre

Les structures électroniques des filtres passifs du second ordre

Les filtres actifs du second ordre

Exemple d'activité pédagogique autour des filtres

La fonction de transfert Vs/Ve des filtres, notée T, est appelée ici « la transmittance » du filtre, elle est donnée sous forme complexe, et n'est valable que dans les conditions suivantes :

Pour chaque filtre, un fichier au format ISIS Proteus 7.8 est disponible afin de simuler le comportement en fréquence du filtre dans ISIS Proteus 7.8 et d'obtenir le diagramme de Bode du filtre.

 

 

 

Animation interactive :

Voici une animation interactive qui vous permettra de bien comprendre le fonctionnement d'un filtre passe bas (cellule RC) et d'un filtre passe haut (cellule CR) du premier ordre.

Filtre passe bas :
Filtre passe haut :

 

Pour télécharger cette animation (en un fichier .EXE fonctionnant sous Windows) afin de l'utiliser chez vous, cliquez ici.

Utilisation de cette animation :

Remarque : lorsque vous déplacez le curseur de votre souris sur la ligne rouge horizontale, entre Fréquence MIN et Fréquence MAX, seule la fréquence de Ve varie. En effet, l'amplitude et la phase à l'origine de Ve restent constantes. Comme la phase à l'origine de Ve est nulle, le déphasage de Vs par rapport à Ve est égal à la phase à l'origine de Vs : il est appelé Phi sur l'animation, et est expimé en radian. Pour mettre à jour l'affichage de Phi, vous devez appuyer sur le bouton gauche de votre souris.

Voici les équations de Ve et de Vs :

: amplitude unitaire constante et phase à l'origine nulle

: A (l'amplitude) et Phi (la phase à l'origine) varient en fonction de la fréquence de Ve

 

 

Filtre passe bas passif du premier ordre (ou cellule RC) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Nous supposons que le filtre est à vide. Ve est la tension sinusoïdale d'entrée, et Vs est la tension sinusoïdale de sortie.

La phase à l'origine de Ve est nulle, et son amplitude maximale est unitaire :

L'amplitude maximale de Vs est notée A, et sa phase à l'origine est notée Phi :

 

Calcul de Vs en fonction de Ve :

Comme le filtre est à vide (le courant de sortie est nul), on peut appliquer le pont diviseur de tension pour calculer Vs en fonction de Ve. Le pont diviseur nous donne :

La transmittance (notée T complexe) est le rapport Vs / Ve :

On en déduit que :

Sachant que l'impédance de la résistance vaut :

Et que l'impédance du condensateur vaut :

On en déduit que la transmittance du filtre passe bas est :

Et en multipliant le numérateur et le dénominateur par on obtient :

Appelons oméga zéro le rapport 1/RC :

La transmittance du filtre passe bas du premier ordre s'écrit alors :

 

Calcul du module et de l'argument de la transmittance complexe:

Le module de la transmittance complexe est :

Et son argument est :

 

Faisons tendre oméga vers zéro et vers l'infini :

Comportement du filtre en basse fréquence (lorsque oméga tend vers zéro) :

On en déduit que :

Comportement du filtre en haute fréquence (lorsque oméga tend vers l'infini) :

On en déduit que :

Le module de la transmittance varie donc entre 0 et 1, et l'argument de la transmittance varie entre -Pi/2 et 0, en fonction de la fréquence :

Vous pouvez tester expérimentalement ces intervales de valeur en faisant varier la fréquence sur l'animation qui est en haut de cette page.

 

Filtre passe haut passif du premier ordre (ou cellule CR) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Calcul de Vs en fonction de Ve :

Comme le filtre est à vide (le courant de sortie est nul), on peut appliquer le pont diviseur de tension pour calculer Vs en fonction de Ve. Le pont diviseur nous donne :

La transmittance (notée T complexe) est le rapport Vs / Ve :

On en déduit que :

Sachant que l'impédance de la résistance vaut :

Et que l'impédance du condensateur vaut :

On en déduit que la transmittance du filtre passe haut est :

Et en divisant le numérateur et le dénominateur par R on obtient :

 

Appelons oméga zéro le rapport 1/RC :

La transmittance du filtre passe haut du premier ordre s'écrit alors :

 

Calcul du module et de l'argument de la transmittance complexe:

Le module de la transmittance complexe est :

Et son argument est :

 

Faisons tendre oméga vers zéro et vers l'infini :

Comportement du filtre en basse fréquence (lorsque oméga tend vers zéro) :

On en déduit que :

 

Comportement du filtre en haute fréquence (lorsque oméga tend vers l'infini) :

On en déduit que :

 

Le module de la transmittance varie donc entre 0 et 1, et l'argument de la transmittance varie entre 0 et Pi/2, en fonction de la fréquence :

Vous pouvez tester expérimentalement ces intervales de valeur en faisant varier la fréquence sur l'animation qui est en haut de cette page.

 

Les filtres actifs du premier ordre :

Chaque filtre est un quadripôle avec :

 

Le filtre passe bas

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Avec la pulsation ω0 qui vaut :

 

Le filtre passe haut

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Avec la pulsation ω0 qui vaut :

 

Le filtre passe bande

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Avec la pulsation ω0 qui vaut :

 

Le filtre coupe bande

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Avec :

 

Les filtres passe tout (ou circuits déphaseurs)

La particularité des filtres passe tout est que quelque soit la fréquence du signal d'entrée Ve le module de la transmittance complexe sera toujours égal à 1. Si la fréquence de Ve varie, seul le déphasage entre Ve et Vs varie, d'où le nom de "circuits déphaseurs" :

Circuit déphaseur à avance de phase :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Circuit déphaseur à retard de phase :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

 

Transmittances des filtres du second ordre :

Dans les 5 transmittances complexes ci-dessous le dénominateur est identique. La grandeur z est le coefficient d'amortissement du filtre (indique si le filtre est résonnant ou non), et 2.z est l'inverse du facteur de qualité Q du filtre :

z = le coefficient d'amortissement

2.z=1/Q

Q = le facteur de qualité

Remarque : z et Q sont des grandeurs sans unité.

Transmittance du filtre passe bas du second ordre :

Transmittance du filtre passe haut du second ordre :

Transmittance du filtre passe bande du second ordre :

Transmittance du filtre coupe bande du second ordre :

Transmittance du filtre passe tout du second ordre :

 

 

Structures électroniques des filtres passifs du second ordre :

Chaque filtre est un quadripôle avec :

Remarque : dans tous les cas ci-dessous on a :

Filtre passe bas du second ordre (2 cellules RC en cascade) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Transmittance des 2 cellules RC en cascade dans le cas où C1=C2=C et R1=R2=R :

Filtre passe haut du second ordre (2 cellules CR en cascade) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Filtre passe bas du troisième ordre (3 cellules RC en cascade) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Filtre passe haut du troisième ordre (3 cellules CR en cascade, appelé aussi réseau déphaseur) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Transmittance du réseau déphaseur dans le cas où C1=C2=C3=C et R1=R2=R3=R :

Rappel :

Filtre passe bande (appelé aussi pont de Wien) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Transmittance du pont de Wien dans le cas où C1=C2=C et R1=R2=R :

A vide, le pont de Wien est équivalent aux deux filtres suivants :

Filtre passe bande (cellule CR suivie d'une cellule RC, équivalent à vide au pont de Wien) :

Filtre passe bande (cellule RC suivie d'une cellule CR, équivalent à vide au pont de Wien) :

Filtre coupe bande (réjecteur de bande) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Transmittance dans le cas où C1=C2=C, R1=2.R et R2=R/2 :

Filtre coupe bande (réjecteur de bande) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Transmittance dans le cas où C1=C2=C et R1=R2=R :

Filtre sélectif (structure en double T) :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Transmittance du filtre en double T dans le cas où :

Rappel :

 

Les filtres actifs du second ordre :

La structure de Rauch

La structure de Rauch est un montage électronique utilisant 5 dipôles d'admittance Y1 à Y5 (résistances ou condensateurs) autour d'un A.L.I. :

◊ si un dipôle est une résistance R son admittance est Y=1/R

◊ si un dipôle est un condensateur C son admittance complexe est Y=j.C.ω


Structure de Rauch

 

Dans le cas général, la transmittance de la structure de Rauch en fonction des 5 admittances Y1 à Y5 est la suivante :

Remarque : étant donné qu'il y a un seul terme au numérateur de la transmittance, la structure de Rauch permet de faire seulement des filtres passe bas, passe haut et passe bande. Les filtres coupe bande (2 termes au numérateur) et passe tout (3 termes au numérateur) ne sont pas réalisables avec la structure de Rauch.

 

Filtre passe bas à structure de Rauch

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est obtenue avec :

Y1=Y3=Y4=1/R

Y2=j.C2.ω

Y5=j.C1.ω

La forme générale de la transmittance complexe du filtre passe bas du second ordre est :

Avec dans le cas particulier de la structure de Rauch :

 

Filtre passe haut à structure de Rauch

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est obtenue avec :

Y1=Y3=Y4=j.C.ω

Y2=1/R2

Y5=1/R1

La forme générale de la transmittance complexe du filtre passe haut du second ordre est :

Avec dans le cas particulier de la structure de Rauch :

 

Filtre passe bande à structure de Rauch

Sa structure électronique à base d'A.L.I. est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est obtenue avec :

Y3=Y4=j.C.ω

Y1=1/R1

Y2=1/R2

Y5=1/R3

La forme générale de la transmittance complexe du filtre passe bande du second ordre est :

Avec dans le cas particulier de la structure de Rauch :

 

Remarque : Δω est la largeur de la bande passante à -3 dB.

Dans le cas du filtre passe bande, le facteur de qualité Q est :

 

 

La structure de Sallen & Key

La structure de Sallen & Key est un montage électronique utilisant 4 dipôles d'impédance Z1 à Z4 (résistances ou condensateurs) autour d'un A.L.I. branché en suiveur :

◊ si un dipôle est une résistance R son impédance est Z=R

◊ si un dipôle est un condensateur C son impédance complexe est Z=1/(j.C.ω)


Structure de Sallen & Key

Remarque : le montage suiveur à A.L.I. peut être remplacé par un amplificateur non inverseur.

 

Filtre passe bas à structure de Sallen & Key

Sa structure électronique à base d'A.L.I. branché en montage suiveur est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

On en déduit que pour ce filtre on a :

Remarque : comme le coefficient d'amortissement z est unitaire, le dénominateur de la transmittance est le carré d'une somme et peut alors se factoriser ainsi :

 

Filtre passe haut à structure de Sallen & Key

Sa structure électronique à base d'A.L.I. branché en montage suiveur est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

On en déduit que pour ce filtre on a :

Remarque : comme le coefficient d'amortissement z est unitaire, le dénominateur de la transmittance est le carré d'une somme et peut alors se factoriser ainsi :

 

 

Filtres légèrement résonnant pouvant servir de passe bande

Les deux filtres actifs suivants sont obtenus avec 2 cellules RC associées à un A.L.I. branché en suiveur. Bien que leur montage électronique soit similaire à la structure de Sallen & Key, ces filtres présentent comme différence essentielle une réponse en fréquence légèrement résonnante sur le diagramme de Bode. Ces filtres peuvent alors servir dans certains cas de filtres passe bande.

 

Filtre passe bas légèrement résonnant

Sa structure électronique à base d'A.L.I. branché en montage suiveur est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Avec :

On peut remarquer que le coefficient d'amortissement de ce filtre est unitaire : z=1

Remarque : vu la forme de sa transmittance (avec ses 2 termes au numérateur), ce filtre n'est ni un filtre passe bas du second ordre, ni un filtre passe haut du second ordre, ni un filtre passe bande du second ordre. En fait, on peut remarquer que la transmittance de ce filtre est la somme de deux transmittances :

◊ la transmittance d'un filtre passe bas de second ordre (d'où le terme de degré 0 au numérateur)

◊ la transmittance d'un filtre passe bande de second ordre (d'où le terme de degré 1 au numérateur)

 

Filtre passe haut légèrement résonnant

Sa structure électronique à base d'A.L.I. branché en montage suiveur est :

Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode

Sa transmittance complexe est :

Avec :

On peut remarquer que le coefficient d'amortissement de ce filtre est unitaire : z=1

Remarque : vu la forme de sa transmittance (avec ses 2 termes au numérateur), ce filtre n'est ni un filtre passe bas du second ordre, ni un filtre passe haut du second ordre, ni un filtre passe bande du second ordre. En fait, on peut remarquer que la transmittance de ce filtre est la somme de deux transmittances :

◊ la transmittance d'un filtre passe haut de second ordre (d'où le terme de degré 2 au numérateur)

◊ la transmittance d'un filtre passe bande de second ordre (d'où le terme de degré 1 au numérateur)

 

Exemple d'activité pédagogique autour des filtres :

 

Le TP suivant permet d'expérimenter la fonction filtrage dans ISIS Proteus :

Modélisation et simulation_Fonction filtrage.doc

 

Et voici les fichiers ISIS Proteus utilisés dans le TP :

Modulation par sommateur 2 signaux_eleve.DSN

Modulation par sommateur 2 signaux_PROF2.DSN

sommation de 3 signaux2 filtres 2eme ordre passebande eleve .DSN