Solution du problème des 12 pièces

Auteur : Jean-Christophe MICHEL

Site Internet : www.gecif.net

 

Toutes les personnes (vous peut-être ...) ayant réfléchi ce fameux problème des 12 pièces sont arrivées à la même conclusion après plusieurs heures de réflexion : il est impossible de trouver la fausse pièce en 3 pesées, mais on peut parfois (si encore on a de la chance) déterminer la fausse pièce en 4 pesées (mais sans pouvoir dire si elle est plus lourde ou plus légère). Je vous confirme qu'une solution en 3 pesées existe, et je vous donne ici en exclusivité ma solution, qui, comme vous l'avez constaté si vous avez fait des recherches, n'existe nulle part ailleurs sur Internet.

Précisons avant de commencer que ce problème des 12 pièces est à l'origine un tour de magie dans lequel le calculateur prodige détermine, de tête, quelle est la pièce fausse en fonction du résultat donné par chacune des 3 pesées. Ce problème des 12 pièces est donc bien plus qu'un simple jeu mathématique, et il est tout à fait nomal (et même souhaitable) que la solution parraisse à première vue impossible (n'est ce pas là le propre de la magie ? :-).

On vous donne 12 pièces qui paraissent toutes identiques, dont l’une est contrefaite et a un poids légèrement différent des autres. Vous ne savez pas si la fausse pièce est plus lourde ou plus légère que les 11 autres. On vous donne une balance de Roberval (balance à 2 plateaux), qui vous permet de mettre le même nombre de pièces de chaque côté et d’observer quel côté (s’il y en a un) est plus lourd. Comment identifier la fausse pièce et déterminer si elle est plus lourde ou plus légère que les 11 autres, en 3 pesées seulement ?

Il existe en réalité plusieurs solutions pour déterminer la fausse pièce en 3 pesées, et pour savoir si elle est plus lourde ou plus légère que les 11 autres. Je vous livre ici ma propre solution, qui est une adaptation de la solution proposée par Martin Gardner dans le Scientific American.

Le principe consiste à donner un numéro à chaque pièce, ce numéro étant écrit en ternaire (système de numération à base 3). Ainsi, les numéros des pièces ne comportent que des chiffres 0, des chiffres 1, et des chiffres 2 :

On remarque que les numéros des pièces en ternaire ne sont pas la conversion directe des nombres de 1 à 12 en base 3. Nous verrons tout à l'heure comment remplir rapidement ce tableau afin de retrouver les numéros ternaires de chaque pièces.

On peut également remarquer que l'ensemble des 12 nombres ternaires ont été conçus de telle sorte que :

• dans la colonnes des chiffres de droite (le chiffre de poids faible) il y a quatre chiffres 0, quatre chiffres 1 et quatre chiffres 2
• dans la colonnes des chiffres du milieu il y a également quatre chiffres 0, quatre chiffres 1 et quatre chiffres 2
• et enfin dans la colonnes des chiffres de gauche (le chiffre de poids fort) il y a quatre chiffres 0, quatre chiffres 1 et quatre chiffres 2

Pour chacune des 3 pesées, nous mettrons toujours 4 pièces dans le plateau gauche de la balance et 4 pièces dans le plateau droit. La répartition des pièces, ou plus exactement la permutation circulaire des pièces, est donnée par leur numéro ternaire en respectant le principe suivant qui constitue la clé de la solution :

A la première pesée, on met sur le plateau gauche les 4 pièces dont le chiffre de droite est un 0 et on met dans le plateau de droite les 4 pièces dont le chiffre de droite est un 2 :

L'interprétation de cette premère pesée est la suivante :

• si le plateau gauche est plus lourd alors le premier chiffre (le chiffre de droite) de la fausse pièce est un 0
• si le plateau droit est plus lourd alors le premier chiffre de la fausse pièce est un 2
• si la balance est équilibrée alors le premier chiffre de la fausse pièce est un 1

Ainsi, en fonction des 3 états possibles de la balance, cette première pesée nous donne le premier chiffre (chiffre de droite) du nombre ternaire de la fausse pièce.

Les seconde et troisième pesées vont nous donner de la même manière le chiffre du milieu et le dernier chiffre de la fausse pièce :

A la seconde pesée, on met sur le plateau gauche les 4 pièces dont le chiffre central est un 0 et on met dans le plateau de droite les 4 pièces dont le chiffre central est un 2 :

L'interprétation de cette seconde pesée est la suivante :

• si le plateau gauche est plus lourd alors le chiffre central de la fausse pièce est un 0
• si le plateau droit est plus lourd alors le chiffre central de la fausse pièce est un 2
• si la balance est équilibrée alors le chiffre central de la fausse pièce est un 1

Ainsi, en fonction des 3 états possibles de la balance, cette seconde pesée nous donne le chiffre du milieu (ou chiffre central) du nombre ternaire de la fausse pièce.

Enfin, à la troisième pesée, on met sur le plateau gauche les 4 pièces dont le chiffre de gauche est un 0 et on met dans le plateau de droite les 4 pièces dont le chiffre de gauche est un 2 :

L'interprétation de cette troisième pesée est la suivante :

• si le plateau gauche est plus lourd alors le dernier chiffre (chiffre de gauche) de la fausse pièce est un 0
• si le plateau droit est plus lourd alors le dernier chiffre de la fausse pièce est un 2
• si la balance est équilibrée alors le dernier chiffre de la fausse pièce est un 1

Ainsi, en fonction des 3 états possibles de la balance, cette troisième pesée nous donne le dernier chiffre (c'est-à-dire le chiffre de gauche) du nombre ternaire de la fausse pièce.

A l'issue des 3 pesées, on obtient donc un nombre ternaire composés de 3 chiffres entre 0 et 2. Mais au fait, comment savoir si la fausse pèce est plus lourde ou plus légère que les 11 autres après la 3ème pesée ? Pour cela, la dernière analyse à faire est la suivante :

• si le nombre ternaire obtenu à l'issue des 3 pesées est un numéro ternaire d'une des 12 pièces, alors cette pièce est la fausse pièce et elle est plus lourde que les 11 autres
• si le nombre ternaire obtenu à l'issue des 3 pesées n'est pas un numéro ternaire d'une des 12 pièces, alors il faut remplacer les 2 par des 0 et remplacer les 0 par des 2 dans le nombre obtenu. On obtient alors un nouveau nombre ternaire qui correspond cette fois à l'une des 12 pièces, qui est la fausse pièce, et elle est plus légère que les 11 autres

Après la théorie, passons à la pratique : les deux paragraphes suivants simulent les 3 pesées sur la balance en distingant les deux cas suivants :

• premier cas : la fausse pièce est plus lourde que les 11 autres pièces
• second cas : la fausse pièce est plus légère que les 11 autres pièces

Imaginons que la fausse pièce soit la pièce 7 et qu'elle soit plus lourde que les 11 autres. Effectuons les 3 pesées et observons les informations données par l'état de la balance :

A l'issue de cette première pesée on sait que le dernier chiffre de la fausse pièce est 0. Le numéro ternaire de la fausse pièce fini donc par xx0.

A l'issue de cette seconde pesée on sait que le chiffre central de la fausse pièce est 2. Le numéro ternaire de la fausse pièce fini donc par x20.

A l'issue de cette troisième pesée on sait que le premier chiffre de la fausse pièce est 1. Le numéro ternaire obtenu est donc 120.

Comme 120 fait parti des numéros ternaires des pièces (120 correspond à la pièce 7) il indique directement la fausse pièce qui est plus lourde que les 11 autres. La pièce 7 est donc plus lourde que les 11 autres.

Imaginons maintenant que la fausse pièce soit la pièce 6 et qu'elle soit plus légère que les 11 autres. Effectuons les 3 pesées et observons les informations données par l'état de la balance :

A l'issue de cette première pesée on sait que le dernier chiffre de la fausse pièce est 0. Le numéro ternaire de la fausse pièce fini donc par xx0.

A l'issue de cette seconde pesée on sait que le chiffre central de la fausse pièce est 1. Le numéro ternaire de la fausse pièce fini donc par x10.

A l'issue de cette troisième pesée on sait que le premier chiffre de la fausse pièce est 2. Le numéro ternaire obtenu est donc 210.

Or le nombre 210 ne correspond à aucun des 12 numéros ternaires des pièces : cela signifie que la fausse pièce est plus légère que les 11 autres. Pour trouver le numéro ternaire de la fausse pièce il faut remplacer les 0 par des 2 et remplacer les 2 par des 0 dans le numéro obtenu. Ainsi, 210 devient 012, ce qui correspond bien à la pièce numéro 6.

On en déduit, en 3 pesées seulement, que la pièce 6 est plus légère que les 11 autres.

Comme nous l'avons déjà dit, les numéros ternaires des pièces ne sont pas la conversion directe en base 3 des nombres de 1 à 12. Comment, dans ces conditions, remplir rapidement le tableau pour retrouver les 12 numéros ternaires ? L'ordre des numéros ternaires n'a aucune importance : l'important est d'utiliser les 12 nombres ternaires donnés, parmi l'ensemble des 27 nombres ternaires à 3 chiffres qu'il est possible de constituer. Je rappelle que ces 12 nombres ternaires donne l'ordre de pesée des pièces en effectuant une permutation circulaire ingénieuse, au point de livrer le numéro de la fausse pièce à l'issue des 3 pesées.

Savoir remplir de tête ce tableau est important car il correspond à l'essentiel de la solution. Pour pouvoir refaire à vos amis la solution de ce problème (qui est, rappelons-le, un tour de magie à l'origine), la difficulté n'est pas de mémoriser le principe des 3 pesées, mais la difficulté est bien de retrouver et de connaitre les numéros ternaires de chaque pièce.

Voici ma solution, qui n'est pas unique, pour remplir le tableau des 12 nombres ternaires. Le remplissage se déroule en 4 étapes :

• aux étapes 1 et 2 l'ordre d'écriture des chiffres sera 0, 1, 2
• aux étapes 3 et 4 l'ordre d'écriture des chiffres sera 2, 0, 1

  Etape 1

On remplit la colonne de droite des numéros ternaires, en écrivant un 0, un 1, un 2, un 0, un 1, un 2, etc. :

Etape 2

On écrit dans la colonne du milieu trois 0, trois 1, et trois 2, en ne remplissant que les 9 premières lignes :

Etape 3

On écrit dans la colonne de gauche trois 2, trois 0, et trois 1, en ne remplissant que les 9 premières lignes :

Etape 4

Enfin, on complète la pièce 10 par deux chiffres 2, la pièce 11 par deux chiffres 0 et la pièce 12 par deux chiffres 1 :

A retenir :

• aux étapes 1 et 2 l'ordre d'écriture des chiffres est 0, 1, 2
• aux étapes 3 et 4 l'ordre d'écriture des chiffres est 2, 0, 1

Vous pouvez très bien utiliser ces 12 nombres ternaires dans un ordre différent si vous trouvez une méthode de remplissage encore plus simple à mémoriser que la mienne.

Voila, vous savez tout sur ce problème des 12 pièces qui constitue un excellent exemple d'application du système de numération ternaire. Vous pouvez retrouver encore d'autres problèmes de ce genre, avec leur solution, sur le site www.gecif.net.

Auteur : Jean-Christophe MICHEL

Site Internet : www.gecif.net